Espacios vectoriales

• Qué son los espacios vectoriales.

R/: Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar, el cual debe de ser un número real, sujetas a los diez axiomas, estos axiomas deben ser válidos para todos los vectores u, v y w en V y todos los escalares α y β reales.

Se llaman u + v a la suma de vectores en V, y αv al producto de un número real α por un vector v ∈ V.

• Enumere los 8 axiomas para comprobar si un conjunto es un espacio vectorial.

1.      u + v ∈ V

2.      u + v = v + u

3.      (u + v) + w = u + (v + w)

4.      Existe un vector nulo 0_v ∈ V tal que v + 0_v = v.

5.      Para cada v en V, existe un opuesto (–v) ∈ V tal que v + (–v) = 0_v.

6.      αv ∈ V

7.      α (u + v) = αu + αv

8.      (α + β) v = αv + βv

 

• Qué es un subespacio vectorial.

R/: Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V.

W es un subespacio de V si W es en sí mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones (suma de vectores y producto por un escalar) definidas en V.

• Enumere las tres propiedades que permiten probar si un subconjunto de un espacio vectorial e u subespacio.

1.      0_v está en W.

2.      Si u y v están en W, entonces u+v está en W.

3.      Si u está en W y k es un escalar, ku está en W.

 

• Explique cuáles son la dimensión y el rango de un subespacio y que es una base.

Dimensión: La dimensión de un subespacio H diferente de cero, denotada mediante dim H, es el número de vectores que hay en cualquier base de H. La dimensión del subespacio cero {0} es, por definición, cero.

Base: Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.

Rango: Sean E un espacio vectorial y F = {v₁, … ,v_p} una familia de p vectores de E.

El rango de de F es la dimensión de Vect({v₁, … ,v_p })

Se denota rg(F) el rango de la familia F.